Berührungen höherer Ordnung mathematisch gesehen

Tausendmal berührt,
Tausendmal ist nix passiert,
Tausend und eine Nacht,
und es hat zoom gemacht.

... so heißt es in einem Lied von Klaus Lage.

Doch mathematisch gesehen braucht man keine Berührungen von 1001-facher Ordnung, um über weite Strecken gute Übereinstimmung zu erzielen. Was z.B. oben wie die Sinus-Funktion aussieht, ist nämlich gar nicht die Sinusfunktion sondern ein Polynom, das die Sinus-Funktion im Ursprung mit Ordnung 25 berührt.

Die Idee dahinter ist nichts weiter als die Erweiterung der Grenzwertidee, mit der die Tangente an den Graphen einer Funktion bestimmt wird. Die Abbildungen unten erläutern dies. Mit einer einfachen Formel für die berührenden Polynome, so genannte Taylorpolynome, kann der aufwändige Grenzübergang umgangen werden. Es wird auch demonstriert, wie die Idee, auf Kreise angewendet, zu den so genannten Krümmungskreisen führt.

1. Ordnung

Die Tangente (rot) berührt mit 1. Ordnung den Graphen einer Funktion. Die Tangente kann man als Grenzlage von Sekanten (grün) erhalten. Dabei werden Geraden, d. h., Graphen von Polynomen 1. Ordnung, jeweils durch zwei Punkte des Graphen der Funktion gelegt.

2. Ordnung

Durch drei Punkte ist eindeutig ein Polynom höchstens 2. Grades bestimmt. Die Übertragung der Idee der Tangente, ergibt das so genannte Taylorpolynom 2. Grades (rot), das den Graphen der Funktion von 2. Ordnung berührt.

n-ter Ordnung

Entsprechend wird für Berührungen n-ter Ordnung die Grenzlage von Polynomen bestimmt, deren Graph durch n+1 Punkte des Graphen der Funktion geht.